suma termes prog.geomètrica

Sumar els termes de la següent progressió geomètrica il.limitada:

3, \frac{3}{5}, \frac{3}{5^{2}}, \frac{3}{5^{3}}, \frac{3}{5^{4}}, ...

Podem escriure el que es demana de la següent manera:

3 + 3 \cdot \frac{1}{5^{1}} + 3 \cdot \frac{1}{5^{2}} + 3 \cdot \frac{1}{5^{3}} + 3 \cdot \frac{1}{5^{4}} + \dots

Així posades les coses, es tracta de sumar els termes d'una progressió geomètrica, en la qual el primer terme

a_{1} = 3

i la raó és

r = \frac{1}{5}

La suma dels

n

primer termes d'una progressió geomètrica de primer terme

a_{0}

i raó

r

es calcula posant:

S = a_{1} + a_{1} \cdot r + a_{1} \cdot r^{2} + \dots + a_{1} \cdot r^{n}

S \cdot r = a_{1} \cdot r + a_{1} \cdot r^{2} + \dots + a_{1} \cdot r^{n} + a_{1} \cdot r^{n + 1}

Les dues últimes línies representen, respectívament, la suma dels termes de la successió i la suma dels mateixos termes multiplicats per la raó

r

Així que d'aquestes dues línies, restant de la segona igualtat la primera, es dedueix que:

S r - S = S (r - 1) = a_{1} \cdot r^{n + 1} - a_{1}

ja que tots els demés termes es cancel.len en la resta. Aïllant

S

S = \frac{a_{1} \cdot r^{n + 1}}{r - 1} - \frac{a_{1}}{r - 1}

Quan

n

es fa molt gran (quan

n \to \infty

), l'expressió

\frac{a_{1} \cdot r^{n + 1}}{r - 1}

es fa cada vegada més xicoteta (tendeix a zero) sempre que

| r | < 1

Açò últim es pot intuir calculadora en mà .

En aquest cas,

r = \frac{1}{5} = 0' 2

n = 6, r^{n + 1} = (0' 2)^{7} = 1' 28 \cdot 1 0^{- 5}

que ja és un nombre realment insignificant.

n = 60, r^{n + 1} = (0' 2)^{61} \approx 2' 31 \cdot 1 0^{- 43}

Així que la suma, quan

n

creix a infinit s'ens redueix a:

S = - \frac{a_{1}}{r - 1} = \frac{a_{1}}{1 - r}

La suma de la série donada seria:

S = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{3}{1 - \frac{1}{5}} = 3' 75

Estudiar si es pot calcular o no la suma de les següents progressions geometriques i en cas afirmatiu calcular eixa suma.

Una successió de primer terme $a_{1} = 8$ i raó $\frac{1}{2}$ .
La successió $1, 2, 4, 8,$ ...
La successió $\frac{9}{10}, \frac{81}{100}, \frac{729}{1000}, \frac{6561}{10000}, ...$
Una successió de primer terme $a_{1} = 3$ i raó $- \frac{1}{5}$
La successió següent: $\frac{3}{10}, \frac{3}{100}, \frac{3}{1000}, \frac{3}{10000} ....$
Una successió de primer terme $a_{0} = 0$ i raó $r = 5$
La successió: $5, 0, 0, 0, ...$ (de primer terme $a_{0} = 5$ i raó $r = 0) .$
La successió de terme general $a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1} .$
La successió de terme general $a_{n} = 3 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n - 1}$
Sumar els 20 primers termes de la successió del punt 2: $1, 2, 4, 8, ...$