Tenim la successió:
$$2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,\cdots$$Qüestions:
1. És aquesta successió una progressió aritmètica?
2. Quin és el seu terme general $a_n$?
3. Dir tots els termes de la successió que van des del $a_{20}$ al $a_{25}$, incloent aquestos últims.
4. Calcula la suma del termes de la successió des del $a_{30}$ al $a_{45}$.

---

1. En primer lloc, (1) en la successió tenim el primer nombre que apareix en ella, $a_1=2$ i, a més, (2) al mirar cóm estan formats els demés veiem que del 5 en avant, si a cada terme li restem una constant que en aquest cas és 3, resulta l'anterior terme. Per exemple si al 26 li restem 3 resulta l'anterior terme en la successió, que és 23. Per la raó que acabem d'exposar, a aquesta constant l'anomenem diferència i la representarem per $d$.($d$ pot ser un nombre positiu o negatiu. Pot ser 0? Cóm quedaria la progressió en aquest últim cas?) En el cas de la successió de dalt, resulta $d=3$. Les condicions (1) i (2) que acabem de vore ens permeten concloure que la successió és una progressió aritmètica.

2. Per a obtindre el terme general veiem que vist cóm es formen els termes, $$a_1=a_1$$$$a_2=a_1+d=a_1+\left(2-1\right)d\mathrm{.}$$$$a_3=a_2+d=\left(a_1+d\right)+d=a_1+2d=a_1+\left(3-1\right)d\mathrm{.}$$$$a_4=a_3+d=\left(a_1+2d\right)+d=a_1+3d=a_1+\left(4-1\right)d\mathrm{.}$$I podem anar formant tots els termes que segueixen, però vorem sempre que, a la vista de la formació dels termes que ocupen els llocs 2,3 i 4, si $n$ és qualsevol nombre natural major que 2, tindrem: $$a_n=a_1+\left(n-1\right)d(*)$$Aplicant la fórmula (*) al problema, si $a_1=2$ i $d=3$, tenim que el terme general per a aquest problema concret és: $$a_n=a_1+\left(n-1\right)d=2+\left(n-1\right)\cdot 3=2+3\left(n-1\right)\left(**\right)$$

3. Aplicant la fórmula (**), tenim: $$a_{20}=2+3\left(20-1\right)=2+3\cdot 19=59$$Per obtindre els termes que li segueixen fins el $a_{25}$ no tenim més que sumar succesívament la constant $d=3$, així, $$a_{21}=a_{20}+3=59+3=62$$$a_{22}=62+3=65a_{23}=65+3=68a_{24}=68+3=71$ i, finalment, $a_{25}=71+3=74.$
Podem aplicar ara la fórmula (**) per comprovar que efectívament, $$a_{25}=2+3\left(25-1\right)=2+3\cdot 24=74.$$

4. Fa ja molt de temps que algú es va adonar que si agafem un troç d'una successió aritmètica i posem baix d'ella el mateix troç però ordenats a l'inrevés, la suma dels termes corresponents en l'ordre és la mateixa. Concretament, per a aquesta successió podem vore que:
$$11,14,17,20,23,26,29,32$$$$32,29,26,23,20,17,14,11$$Si sumem qualsevol dels nombres de dalt amb el seu corresponent de baix, la suma es manté constant en 43. Renumerant el troç de successió i posant $a_1=11$ i $a_8=32$ i valent-se d'aquesta propietat podem concloure que $43=\left(11+32\right)\cdot 8$ ens donaria el doble de la suma dels 8 termes. així que la suma dels 8 termes de la progressió sería: $$S=\frac{\left(a_1+a_8\right)\cdot 8}{2}=\frac{\left(11+32\right)\cdot 8}{2}=172.$$Podem vore que si sumem 11+14+17+20+23+26+29+32, també dóna 172 però la veritat és que a mesura que els termes a sumar vagen creixent resulta més difícil i farragós fer la suma. Així, cal aplicar basant-nos en el que hem vist la fórmula: $$S=\frac{\left(a_1+a_n\right)\cdot n}{2}$$fórmula que ens permetrà sumar n termes d'un troç de progressió aritmètica sabent quin és el primer i l'últim dels termes a considerar.
Per a sumar els termes que van des del $a_{30}$ al $a_{45}$ hem de coneixerlos i tindre en compte que hi ha $n=16$ termes. Aquest punt és important. Si posem només els subíndex per a no complicar l'escriptura tenim:
30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45
Ara, aplicant la fórmula (**) veiem que: $$a_{30}=2+3\left(30-1\right)=2+3\cdot 29=89$$$$a_{45}=2+3\left(45-1\right)=2+3\cdot 44=134$$I, finalment, la suma seria: $$S=\frac{\left(a_{30}+a_{45}\right)\cdot 16}{2}=\frac{\left(89+134\right)\cdot 16}{2}=1784$$

---

Dir si les següents successions de nombres són progressions aritmètiques o no ho són. Si ho són dir quin és el primer terme $a_1$, la diferència $d,$ quin és el terme general $a_n$ i quin valor té quan $n=12.$ La suma dels termes que van de $a_4$ a $a_8,$ incloent aquestos dos. Si alguna successió no és una progressió aritmètica, estudiar si hi ha alguna regularitat en la successió dels termes.