Calcula l'equació d'una recta que passa pels punts $\left(-3,2\right)$ i (7,11) posant-la en la forma $y=mx+b$, on $m$ és el pendent i $b$ és l'ordenada en l'origen. Dibuixa-la.

En primer lloc, calculem el pendent. Si el punt $P_1$ té les coordenades $\left(x_1,y_1\right)$ i el punt $P_2$ té les coordenades $\left(x_2,y_2\right)$, sabem que el pendent és l'increment dels valors que pren la funció en eixos dos punts dividit per l'increment dels valors de la variable independent. És a dir,

Sustituint valors, tenim:

La recta que busquem, $$y=mx+b\left(1\right)$$ha de passar pels dos punts donats. Si sustituim qualsevol d'aquestos punts en l'equació (1) tindrem $b$, l'ordenada en l'origen.

Sustituint per exemple el punt (7,11) tenim:

Si en lloc de sustituir el punt $\left(7,11\right)$ haverem sustituit el $\left(-3,2\right),$ tindriem:

$2=\frac{9}{10}\cdot \left(-3\right)+b,$ i, per tant, tenim:

Aixi veiem que qualsevol d'aquestos punts serveix per a obtindre l'ordenada en l'origen.

L'equació de la recta és $y=\frac{9}{10}x+\frac{47}{10}$

Es tracta d'una funció afí, que en el gràfic anterior notem $f\left(x\right)=\frac{9}{10}\cdot x+\frac{47}{10}$. També es pot apreciar en el gràfic que la recta que té la mateixa pendent però que passa per l'origen (la funció lineal associada) és $g\left(x\right)=\frac{9}{10}x$ En realitat, quan desplacem esta última 4,7 unitats cap a dalt de l'eix de les Y, obtenim la funció afí $f\left(x\right)$.

---

Una de les formes de determinar una recta en el pla és conèixer dos punts distints d'ella. Amb aquesta informació es pot coneixer el pendent i la ordenada en l'origen, és a dir, la distància entre el punt en el qual la recta talla l'eix de les Y, i l'origen, (0,0). Determineu $m$ i $b$ ($m$ pendent, $b$ ordenada en l'origen) en les rectes que passen pels punts:

Recíprocament, una recta queda determinada si coneixem el pendent $m$ i la ordenada en l'origen $b,$ i podem obtindre dos punts arbitraris d'ella. Un d'ells pot ser el punt $\left(0,b\right)\mathrm{.}$

Obtindre dos punts qualsevol de les següents rectes:

Quan $m=0,$ la recta és paral.lela a l'eix de les $X$. L'equació $y=mx+b$ queda reduida a $y=b\mathrm{.}$ Dibuixar les rectes següents:

En les tres rectes anteriors la coordenada $y$ es manté constant, en el primer cas en 5, en el segon en -3 i, en el tercer cas, la recta coincideix en l'eix de les $X\mathrm{.}$

Finalment, en l'equació de la recta $y=mx$ podem considerar el cas que $m$ es faça molt gran. Dividint els dos membres de l'equació per m, tenim: $\frac{y}{m}=\frac{m}{m}x$. A mesura que el valor absolut de $m$ vaja augmentant, el valor $\frac{y}{m}$ anirá fent-se més i més xicotet (augmenta el denominador de la fracció) fins que el seu valor es reduisca tant que la part esquerra de l'equació valga $0,$ és a dir $\frac{y}{m}=0$. En quan a la part dreta de l'equació, $\frac{m}{m}x=x$, ja que encara que $m$ siga molt gran, al dividir $m$ per $m$ resulta 1.

Així tenim que l'equació del eix de les $Y$ és $x=0.$

Qualsevol recta paral.lela a l'eix de les $Y$ té d'equació $x=k$, on $k$ és qualsevol valor real. Per exemple l'equació de la recta $x=-2$ representa una recta que conté tots els punts $\left(-2,y\right),$ per exemple $\left(-2,-5\right),\left(-2,7\right),$ etc.